माना f(x) = begin{cases} x^3 - x^2 + 10x - 5, | vedclass

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Question

(D) यदि $f(x)$ का अधिकतम मान $x = 1$ पर है,तो डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x) \le f(1)$ होना चाहिए।सबसे पहले,फलन के पहले भाग का उपयोग करके $f(1)$ ज्ञात

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$[-\sqrt{130}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \sqrt{130}]$

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(D) यदि $f(x)$ का अधिकतम मान $x = 1$ पर है,तो डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x) \le f(1)$ होना चाहिए।सबसे पहले,फलन के पहले भाग का उपयोग करके $f(1)$ ज्ञात करें: $f(1) = 1^3 - 1^2 + 10(1) - 5 = 1 - 1 + 10 - 5 = 5$.$x \le 1$ के लिए,$f(x) = x^3 - x^2 + 10x - 5$ है। मान लीजिए $g(x) = x^3 - x^2 + 10x - 5$ है। तब $g'(x) = 3x^2 - 2x + 10$ है। $g'(x)$ का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(3)(10) = 4 - 120 = -116  0$ है,जिसका अर्थ है कि $x \le 1$ के लिए $f(x)$ निरंतर वर्धमान है। अतः,$x \le 1$ के लिए $f(x) \le f(1)$ की शर्त संतुष्ट होती है।$x > 1$ के लिए,हमें $f(x) \le f(1)$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $-2x + \log_2(b^2 - 2) \le 5$। जैसे $x 	o 1^+$,सीमा $-2(1) + \log_2(b^2 - 2) = -2 + \log_2(b^2 - 2)$ है। $x=1$ पर अधिकतम मान के लिए,$-2 + \log_2(b^2 - 2) \le 5$ होना चाहिए।इसके अतिरिक्त,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $b^2 - 2 > 0 \implies b^2 > 2 \implies b \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$।$-2 + \log_2(b^2 - 2) \le 5$ को हल करने पर:$\log_2(b^2 - 2) \le 7$$b^2 - 2 \le 2^7$$b^2 - 2 \le 128$$b^2 \le 130$.$b^2 > 2$ और $b^2 \le 130$ को संयोजित करने पर,हमें $2 अतः,सही विकल्प $D$ है।

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{3 \sin(\pi x)}{5x} & x \neq 0 \\ 2K & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \frac{x}{2} - 1$ है,तो अंतराल $[0, \pi]$ पर,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $f: R \to R$ एक फलन है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} 5, & x \le 1 \\ a + bx, & 1 < x < 3 \\ b + 5x, & 3 \le x < 5 \\ 30, & x \ge 5 \end{cases}$
तो $f$ है:

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